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  • 用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，要使容器的容积最大，扇形的圆心角α=（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，要使容器的容积最大，扇形的圆心角α=（　　）

      试题解答

      D
      解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r2+h2=R2，
      因此，V=
      1
      3
      πr2h=
      1
      3
      πR2h-
      1
      3
      πh3（0＜h＜R）
      ∴V′=
      1
      3
      πR2-πh2．
      令V′=0，得h=
      √3
      3
      R，
      当0＜h＜
      √3
      3
      R时，V′＞0．
      当
      √3
      3
      R＜h＜R时，V′＜0．
      ∴h=
      √3
      3
      R时，V取得极大值，并且这个极大值是最大值．
      把h=
      √3
      3
      R代入r2+h2=R2，得r=
      √6
      3
      R．
      由Rα=2πr，得α=
      2
      √6
      3
      π
      即圆心角α为
      2
      √6
      3
      π弧度时，漏斗容积最大．
      故选：D．
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      必修4人教A版单选题高中数学

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