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  • 各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2(Sn+1)=an2+an．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=2，bn+1=2bn，数列{cn}满足cn={an(n为奇数)bn(n为偶数)，数列{cn}的前n项和为Tn，当n为偶数时，求Tn；（Ⅲ）同学甲利用第（Ⅱ）问中的Tn设计了一个程序如图，但同学乙认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意同学乙的观点？请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2(Sn+1)=an2+an．
      （Ⅰ）求数列{a      n}的通项公式；
      （Ⅱ）若数列{b      n}满足b1=2，bn+1=2bn，数列{cn}满足cn=
      {
      an(n为奇数)
      bn(n为偶数)
      ，数列{cn}的前n项和为Tn，当n为偶数时，求Tn；
      （Ⅲ）同学甲利用第（Ⅱ）问中的T      n设计了一个程序如图，但同学乙认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意同学乙的观点？请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）当n=1时，由2(S1+1)=a12+a1，解得a1=2，
      当n≥2时，由2(S      n+1)=an2+an，得2(Sn-1+1)=an-12+an-1．
      两式相减，并利用a      n=Sn-Sn-1，求得an-an-1=1．
      ∴数列{a      n}是首项为2，公差为1的等差数列．∴an=n+1（n∈N*）．
      （Ⅱ）∵{b      n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴bn=2n．
      当n为偶数时，      Tn=(a1+a3+…+an-1)+(22+24+…+2n)=
      a1+an-1
      2
      ?
      n
      2
      +
      4(1-2n)
      1-4
      =
      n2+2n
      4
      +
      4
      3
      (2n-1)．
      （Ⅲ）∵      Pn=
      n2
      4
      +24n（n为偶数），设dn=Tn-Pn=
      4
      3
      ?2n-
      47
      2
      n-
      4
      3
      （n为偶数），
      ∴d      4＜d6＜d8＜d10＜2007＜d12＜d14＜…．且d2＜2007，（利用数列的单调性或函数的单调性判断）
      ∴d      n≠2007，即Tn-Pn≠2007（n为偶数）．
      因此同学乙的观点正确．
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