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  • 甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞12），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（1）求p的值；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞
      1
      2
      ），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为
      5
      9
      ．
      （1）求p的值；
      （2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当甲连胜2局或乙连胜2局时，
      第二局比赛结束时比赛停止，故      p2+(1-p)2=
      5
      9
      ，
      解得p=
      2
      3
      或p=
      1
      3
      ，又p＞
      1
      2
      ，故p=
      2
      3

      （2）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6，
      设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
      5
      9
      ，
      若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，
      此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(ξ=2)=
      5
      9
      ，P(ξ=4)=(1-
      5
      9
      )×
      5
      9
      =
      20
      81
      ，P(ξ=6)=(1-
      5
      9
      )×(1-
      5
      9
      )×1=
      16
      81
      ，
      则随机变量ξ的分布列为：

      故Eξ=2×
      5
      9
      +4×
      20
      81
      +6×
      16
      81
      =
      266
      81
      ．
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