如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，（Ⅰ）以向量AB方向为侧视方向，侧视图是什么形状？说明理由并画出侧视图．（Ⅱ）求该几何体的体积．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，
（Ⅰ）以向量

方向为侧视方向，侧视图是什么形状？说明理由并画出侧视图．
（Ⅱ）求该几何体的体积．

见解析

解：（1）∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=NB=1，

∴四边形BDMN是矩形，
∵以向量

方向为侧视方向，线段BD的视图是线段AD（或BC）
而AD=MD=NB=1，
∴以向量

方向为侧视方向时，侧视图是边长为1的正方形，
AM是正方形一条对角线，CN是另一条对角线（虚线）
因此，可得侧视图的形状如右图；…（5分）

（2）连接AC、BD，交于O点，
∵ABCD是正方形，∴AO⊥BD，
又∵NB⊥平面ABCD，AO?平面ABCD，
∴AO⊥NB，结合BD、NB是平面BDMN内的相交直线，可得AO⊥平面BDMN，…（9分）
∵矩形BDMN的面积S=MD×BD=

√2

，
∴四棱锥A-BDMN的体积V=

S?AO=

同理可得：四棱锥C-BDMN的体积为

，
故该几何体的体积V=V_C-BDMN+V_A-BDMN=

．…（12分）

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