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设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3…若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+an2,cn+1=bn+an2,则( )试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设△A
n
B
n
C
n
的三边长分别为a
n
,b
n
,c
n
,△A
n
B
n
C
n
的面积为S
n
,n=1,2,3…若b
1
>c
1
,b
1
+c
1
=2a
1
,a
n+1
=a
n
,
b
n+1
=
c
n
+a
n
2
,
c
n+1
=
b
n
+a
n
2
,则( )
试题解答
B
解:因为a
n+1
=a
n
,
b
n+1
=
c
n
+a
n
2
,
c
n+1
=
b
n
+a
n
2
,所以a
n
=a
1
,
所以b
n+1
+c
n+1
=a
n
+
b
n
+c
n
2
=a
1
+
b
n
+c
n
2
,
所以b
n+1
+c
n+1
-2a
1
=
1
2
(b
n
+c
n
-2a
1
),
又b
1
+c
1
=2a
1
,所以b
n
+c
n
=2a
1
,
于是,在△A
n
B
n
C
n
中,边长B
n
C
n
=a
1
为定值,另两边A
n
C
n
、A
n
B
n
的长度之和b
n
+c
n
=2a
1
为定值,
因为b
n+1
-c
n+1
=
c
n
+a
n
2
-
b
n
+a
n
2
=-
1
2
(b
n
-c
n
),
所以b
n
-c
n
=(-
1
2
)
n-1
(b
1
-c
1
),
当n→+∞时,有b
n
-c
n
→0,即b
n
→c
n
,
于是△A
n
B
n
C
n
的边B
n
C
n
的高h
n
随着n的增大而增大,
所以其面积
S
n
=
1
2
|B
n
C
n
|?h
n
=
1
2
a
1
h
n
为递增数列,
故选B.
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数列递推式
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