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已知数列{an}中,a1=1,且满足递推关系an+1=2a2n+3an+man+1(m∈N*)(1)当m=1时,求数列{an}的通项an;(2)当m∈N*时,数列{an}满足不等式an+1≥an恒成立,求m的取值范围.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
已知数列{a
n
}中,a
1
=1,且满足递推关系a
n+1
=
2
a
2
n
+3a
n
+m
a
n
+1
(m∈N
*
)
(1)当m=1时,求数列{a
n
}的通项a
n
;
(2)当m∈N
*
时,数列{a
n
}满足不等式a
n+1
≥a
n
恒成立,求m的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)m=1,由
a
n+1
=
2
a
n
2
+3a
n
+1
a
n
+1
,n∈N
*
,
得:
a
n+1
=
(2a
n
+1)( a
n
+1)
a
n
+1
=2a
n
+1,
a
n+1
+1=2(a
n
+1),
∴{a
n
+1}是以2为首项,公比也是2的等比例数列.
于是a
n
+1=2?2
n-1
,
∴a
n
=2
n
-1.
(2)由a
n+1
≥a
n
,a
1
=1,知a
n
>0,
∴
2
a
n
2
+3a
n
+m
a
n
+1
≥a
n
,
即m≥-a
n
2
-2a
n
,
依题意,有m≥-(a
n
+1)
2
+1恒成立.
∵a
n
≥1,
∴m≥-2
2
+1=-3,
即满足题意的m的取值范围是[-3,+∞).
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