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  • 设数列{an}的前n项和为Sn，如果sns2n为常数，则称数列{an}为“科比数列”．（1）等差数列{bn}的首项为1，公差不为零，若{bn}是“科比数列”，求{bn}的通项公式；（2）数列{cn}的各项都是正数，前n项和为Sn，若C13+C23+C33+…Cn3=Sn2对任意n∈N*都成立，试推断数列{cn}是否为“科比数列”？并说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设数列{an}的前n项和为Sn，如果
      sn
      s2n
      为常数，则称数列{an}为“科比数列”．
      （1）等差数列{b      n}的首项为1，公差不为零，若{bn}是“科比数列”，求{bn}的通项公式；
      （2）数列{c      n}的各项都是正数，前n项和为Sn，若C13+C23+C33+…Cn3=Sn2对任意n∈N*都成立，试推断数列{cn}是否为“科比数列”？并说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设等差数列{bn}的公差为d（d≠0），
      Sn
      S2n
      =k，因为b1=1，
      则n+
      1
      2
      n(n-1)d=k[2n+
      1
      2
      ?2n(2n-1)d]，
      即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．
      整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．…（4分）
      因为对任意正整数n上式恒成立，
      则
      {
      d(4k-1)=0
      (2k-1)(2-d)=0
      ，
      解得
      {
      d=2
      k=
      1
      4
      ．　…（6分）
      故数列{b      n}的通项公式是bn=2n-1．…（7分）
      （2）由已知，当n=1时，c      13=S12=c12．
      因为c      1＞0，所以c1=1． …（8分）
      当n≥2时，c      13+c23+c33+…+cn3=Sn2，
      c      13+c23+c33+…+cn-13=Sn-12．
      两式相减，得c      n3=Sn2-Sn-12=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=cn?（Sn+Sn-1）．
      因为c      n＞0，所以cn2=Sn+Sn-1=2Sn-cn．…（10分）
      显然c      1=1适合上式，
      所以当n≥2时，c      n-12=2Sn-1-cn-1．
      于是c      n2-cn-12=2（Sn-Sn-1）-cn+cn-1
      =2cn-cn+cn-1=cn+cn-1．
      因为c      n+cn-1＞0，则cn-cn-1=1，
      所以数列{c      n}是首项为1，公差为1的等差数列．
      所以
      Sn
      S2n
      =
      n(n+1)
      2n(2n+1)
      =
      n+1
      4n+2
      不为常数，
      故数列{c      n}不是“科比数列”． …（14分）
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