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数列{an}满足an+1+an=4n-3(n∈N*)(Ⅰ)若{an}是等差数列,求其通项公式;(Ⅱ)若{an}满足a1=2,Sn为{an}的前n项和,求S2n+1.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
数列{a
n
}满足a
n+1
+a
n
=4n-3(n∈N
*
)
(Ⅰ)若{a
n
}是等差数列,求其通项公式;
(Ⅱ)若{a
n
}满足a
1
=2,S
n
为{a
n
}的前n项和,求S
2n+1
.
试题解答
见解析
解:( I)由题意得a
n+1
+a
n
=4n-3…①
a
n+2
+a
n+1
=4n+1…②.…(2分)
②-①得a
n+2
-a
n
=4,
∵{a
n
}是等差数列,设公差为d,∴d=2,(4分)
∵a
1
+a
2
=1∴a
1
+a
1
+d=1,∴
a
1
=-
1
2
.(6分)
∴
a
n
=2n-
5
2
.(7分)
(Ⅱ)∵a
1
=2,a
1
+a
2
=1,
∴a
2
=-1.(8分)
又∵a
n+2
-a
n
=4,
∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差均为4,
∴a
2n-1
=4n-2,a
2n
=4n-5.(11分)
S
2n+1
=(a
1
+a
3
+…+a
2n+1
)+(a
2
+a
4
+…+a
2n
)(12分)
=(n+1)×2+
(n+1)n
2
×4+n×(-1)+
n(n-1)
2
×4
=4n
2
+n+2.(14分)
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