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给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a1,a2,a3,…满足an+1=f(an),n∈N*.(1)若a1=-c-2,求a2及a3;(2)求证:对任意n∈N*,an+1-an≥c;(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a
1
,a
2
,a
3
,…满足a
n+1
=f(a
n
),n∈N
*
.
(1)若a
1
=-c-2,求a
2
及a
3
;
(2)求证:对任意n∈N
*
,a
n+1
-a
n
≥c;
(3)是否存在a
1
,使得a
1
,a
2
,…,a
n
,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a
1
;若不存在,说明理由.
试题解答
见解析
解:(1)a
2
=f(a
1
)=f(-c-2)=2|-c-2+c+4|-|-c-2+c|=4-2=2,
a
3
=f(a
2
)=f(2)=2|2+c+4|-|2+c|=2(6+c)-(c+2)=10+c.
(2)由已知可得f(x)=
{
x+c+8,x≥-c
3x+3c+8,-c-4≤x<-c
-x-c-8,x<-c-4
当a
n
≥-c时,a
n+1
-a
n
=c+8>c;
当-c-4≤a
n
<-c时,a
n+1
-a
n
=2a
n
+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c;
当a
n
<-c-4时,a
n+1
-a
n
=-2a
n
-c-8>-2(-c-4)-c-8=c.
∴对任意n∈N
*
,a
n+1
-a
n
≥c;
(3)由(2)及c>0,得a
n+1
≥a
n
,即{a
n
}为无穷递增数列.
又{a
n
}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,a
n
≥-c,从而a
n+1
=f(a
n
)=a
n
+c+8,由于{a
n
}为等差数列,
因此公差d=c+8.
①当a
1
<-c-4时,则a
2
=f(a
1
)=-a
1
-c-8,
又a
2
=a
1
+d=a
1
+c+8,故-a
1
-c-8=a
1
+c+8,即a
1
=-c-8,从而a
2
=0,
当n≥2时,由于{a
n
}为递增数列,故a
n
≥a
2
=0>-c,
∴a
n+1
=f(a
n
)=a
n
+c+8,而a
2
=a
1
+c+8,故当a
1
=-c-8时,{a
n
}为无穷等差数列,符合要求;
②若-c-4≤a
1
<-c,则a
2
=f(a
1
)=3a
1
+3c+8,又a
2
=a
1
+d=a
1
+c+8,∴3a
1
+3c+8=a
1
+c+8,得a
1
=-c,应舍去;
③若a
1
≥-c,则由a
n
≥a
1
得到a
n+1
=f(a
n
)=a
n
+c+8,从而{a
n
}为无穷等差数列,符合要求.
综上可知:a
1
的取值范围为{-c-8}∪[-c,+∞).
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解答题
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数学
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