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  • 数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=2S2n2Sn-1（n≥2）．（1）求证：数列{1Sn}的通项公式；（2）设存在正数k，使（1+S1）（1+S2）..（1+Sn）≥k√2n+1对一切n∈N×都成立，求k的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=
      2S
      2
      n
      2Sn-1
      （n≥2）．
      （1）求证：数列{
      1
      Sn
      }的通项公式；
      （2）设存在正数k，使（1+S      1）（1+S2）..（1+Sn）≥k
      √2n+1
      对一切n∈N×都成立，求k的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）证明：∵n≥2时，an=Sn-Sn-1（1分）
      ∴S      n-Sn-1=
      2S
      2
      n
      2Sn-1
      ，∴（Sn-Sn-1）（2Sn-1）=2Sn2，
      ∴=S      n-1-Sn=2SnSn-1（3分）
      ∴
      1
      Sn
      -
      1
      Sn-1
      =2（n≥2），（5分）
      数列{
      1
      Sn
      }是以
      1
      S1
      =1为首项，以2为公差的等差数列．（6分）
      （2）由（1）知
      1
      Sn
      =1+(n-1)×2=2n-1，
      ∴      Sn=
      1
      2n-1
      ，∴Sn+1=
      1
      2n+1
      （7分）
      设F（n）=
      (1+S1)(1+S2)…(1+Sn)
      √2n+1
      ，
      则
      F(n+1)
      F(n)
      =
      (1+Sn+1)
      √2n+1
      √2n+3

      =
      2n+2
      √(2n+1)(2n+3)

      =
      √
      4n2+8n+4
      4n2+8n+3
      ＞1（10分）
      ∴F（n）在n∈N      *上递增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]min≥k
      ∵[F（n）]      min=F（1）=
      2
      3
      √3
      ，∴0＜k≤
      2
      3
      √3
      ，kmax=
      2
      3
      √3
      ．（12分）
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