已知函数f（x）=3x-1的反函数为f-1（x），且f-1（17）=a+2（1）求a的值；（2）若f-1（an-1）=log3n，Sn是数列{an}的前n项和，若不等式λan≤2n?Sn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数f（x）=3^x-1的反函数为f^-1（x），且f^-1（17）=a+2
（1）求a的值；
（2）若f^-1（a_n-1）=log₃n，S_n是数列{a_n}的前n项和，若不等式λa_n≤2ⁿ?S_n对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的最大值．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）令y=3^x-1＞-1，则x=log₃（y+1），
∴f^-1（x）=log₃（x+1），x＞-1．
∵f^-1（17）=a+2，即log₃18=a+2，
解得 a=log₃2．（6分）
（Ⅱ）∵f^-1（a_n-1）=log₃n，
∴log₃a_n=log₃n，即a_n=n．
则数列{a_n}的前n项和S_n=

n(n+1)

，
要使λa_n-2ⁿ?S_n≤0对任意n∈N^*恒成立，
即使λ≤2^n-1?（n+1）对任意n∈N^*恒成立．
又数列b_n=2^n-1(n+1)为单调递增数列，
∴b_n的最小值为b₁=2，
∴λ≤2，即λ的最大值为2．（12分）

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已知函数f（x）=3x-1的反函数为f-1（x），且f-1（17）=a+2（1）求a的值；（2）若f-1（an-1）=log3n，Sn是数列{an}的前n项和，若不等式λan≤2n?Sn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

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