• 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若f(0)=1,b=-a-1,解关于x不等式f(x)<0;(2)若f(x)的最小值为0,且a<b,设ba=t,请把a+b+cb-a表示成关于t的函数g(t),并求g(t)的最小值.试题及答案-解答题-云返教育

    • 试题详情

      已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
      (1)若f(0)=1,b=-a-1,解关于x不等式f(x)<0;
      (2)若f(x)的最小值为0,且a<b,设
      b
      a
      =t,请把
      a+b+c
      b-a
      表示成关于t的函数g(t),并求g(t)的最小值.

      试题解答


      见解析
      解:(1)由题意可得f(0)=c=1,又b=-a-1,
      所以f(x)=ax
      2+bx+c=ax2-(a+1)x+1=(x-1)(ax-1).
      当a>1时,不等式的解集为:{x|
      1
      a
      <x<1};
      当0<a<1时,不等式的解集为:{x|1<x<
      1
      a
      };
      当a<0时,不等式的解集为:{x|x<
      1
      a
      或x>1};
      当a=1时,不等式的解集为空集.
      (2)因为f(x)的最小值为0,所即b
      2=4ac
      由因为
      b
      a
      =t,故b=at,c=
      at2
      4
      ,故
      a+b+c
      b-a
      =
      a+at+
      at2
      4
      at-a

      =
      t2+4t+4
      4(t-1)
      ,又因为a<b,所以
      b
      a
      =t>1故g(t)=
      t2+4t+4
      4(t-1)
      (t>1)
      所以g(t)=
      t2+4t+4
      4(t-1)
      =
      (t-1)2+6(t-1)+9
      4(t-1)
      =
      t-1
      4
      +
      9
      4(t-1)
      +
      3
      2

      ≥2
      t-1
      4
      ?
      9
      4(t-1)
      +
      3
      2
      =3,当且仅当
      t-1
      4
      =
      9
      4(t-1)
      ,即t=4时取等号
      故g(t)的最小值为3
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