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  • 如图所示，在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB=a，∠ABC=θ（1）求△ABC的面积f（θ）与正方形面积g（θ）；（2）当θ变化时，求f(θ)g(θ)的最小值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图所示，在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB=a，∠ABC=θ
      （1）求△ABC的面积f（θ）与正方形面积g（θ）；
      （2）当θ变化时，求
      f(θ)
      g(θ)
      的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题得：AC=atanθ
      ∴f（θ）=
      1
      2
      a2tanθ（0＜θ＜
      π
      2
      ）
      设正方形的边长为x，则BG=
      x
      sinθ
      ，由几何关系知：∠AGD=θ
      ∴AG=xcosθ 由BG+AG=a?
      x
      sinθ
      +xcosθ=a?x=
      asinθ
      1+sinθcosθ

      ∴g（θ）=
      a2sin2θ
      (1+sinθcosθ)2
      （0＜θ＜
      π
      2
      ）
      （2）
      f(θ)
      g(θ)
      =
      (1+sinθcoθ)2
      2sinθcosθ
      =1+
      1
      sin2θ
      +
      sin2θ
      4
      令：t=sin2θ
      ∵0＜θ＜
      π
      2

      ∴t∈（0，1]∴y=1+
      1
      t
      +
      t
      4
      =1+
      1
      4
      （t+
      t
      4
      ）∵函数y=1+
      1
      4
      （t+
      t
      4
      ）在（0，1]递减
      ∴y      min=
      9
      4
      （当且仅当t=1即θ=
      π
      4
      时成立）
      ∴当θ=
      π
      4
      时，
      f(θ)
      g(θ)
      的最小值为
      9
      4
      ．
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      选修4-5人教A版解答题高中数学

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