• 设不等式x-x2≥0的解集为M.(1)求集合M;(2)若a,b∈M,试比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(3)当x∈M,不等式2m-1<x(m2-1)恒成立,求m的取值范围.试题及答案-解答题-云返教育

    • 试题详情

      设不等式x-x2≥0的解集为M.
      (1)求集合M;
      (2)若a,b∈M,试比较a
      3+b3与a2b+ab2的大小.
      (3)当x∈M,不等式2m-1<x(m
      2-1)恒成立,求m的取值范围.

      试题解答


      见解析
      解:(1)原不等式即为x(1-x)≥0,所以0≤x≤1(4分)
      所以不等式的解集M=[0,1](6分)
      (2)a
      3+b3-(a2b+ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a2-b2)(a-b)=(a-b)2(a+b),
      由(1)知a,b∈[0,1],
      ∴(a-b)
      2≥0,a+b>0,∴(a-b)2(a+b)≥0,∴a3+b3≥a2b+ab2
      (3)当x∈M,不等式2m-1<x(m
      2-1)恒成立,转化为f(x)=x(m2-1)-(2m-1)>0恒成立,
      当x∈[0,1]时,等价于
      {
      f(0)>0
      f(1)>0
      {
      1-2m>0
      m2-2m>0
      ,?m<0.
      可得m的取值范围是(-∞,0).
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