• 已知点M(x1,f(x1))是函数f(x)=1x,x∈(0,+∞)图象C上的一点,记曲线C在点M处的切线为l.(1)求切线l的方程;(2)设l与x轴,y轴的交点分别为A、B,求△AOB周长的最小值.试题及答案-解答题-云返教育

    • 试题详情

      已知点M(x1,f(x1))是函数f(x)=
      1
      x
      ,x∈(0,+∞)图象C上的一点,记曲线C在点M处的切线为l.
      (1)求切线l的方程;
      (2)设l与x轴,y轴的交点分别为A、B,求△AOB周长的最小值.

      试题解答


      见解析
      解:(1)f′(x)=-
      1
      x2

      ∴k=f′(x
      1)=-
      1
      x
      2
      1

      ∴切线方程为y-
      1
      x1
      =-
      1
      x
      2
      1
      (x-x1),即y=-
      1
      x
      2
      1
      x+
      2
      x1

      (2)在y=-
      1
      x
      2
      1
      x+
      2
      x1
      中,
      令y=0得x=2x
      1,∴A(2x1,0).
      令x=0,得y=
      2
      x1
      ,∴B(0,
      2
      x1
      ).
      ∴△AOB的周长m=2x
      1+
      2
      x1
      +
      (2x1)2+(
      2
      x1
      )2

      ∴m=2(x
      1+
      1
      x1
      +
      x
      2
      1
      +
      1
      x
      2
      1
      ),x1∈(0,+∞).
      令t=x
      1+
      1
      x1
      ,∵x1∈(0,+∞),∴t≥2.
      ∴当t=2,即x
      1=1时,m最小=2(2+
      2
      ).
      故△AOB周长的最小值是2(2+
      2
      ).
    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn