已知a是实数，函数f（x）=x2（x-a）．（1）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若a=32，求f（x）在区间[0，2]上的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知a是实数，函数f（x）=x²（x-a）．
（1）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a=

，求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）=x²（x-a）=x³-ax²．
∴f'（x）=3x²-2ax．
∵f'（1）=3-2a=3，∴a=0．
又当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，
则切点坐标（1，1），斜率为3，
∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=3（x-1）
化简得3x-y-2=0；
（2）把a=

代入得，f(x)=x³-

x²，
f′（x）=3x²-3x=3x（x-1）．
令f'（x）=0，解得x₁=0，x₂=1．
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减，
当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，2）上单调递增，
∴f（x）在[0，2]上有极小值，也就是最小值为f（1）=-

．
又f（0）=0，f（2）=2．
∴f（x）在[0，2]上的最大值为2．
综上所述，f（x）在区间[0，2]上的最大值为2．

标签

选修2-2 北师大版解答题高中数学

已知a是实数，函数f（x）=x2（x-a）．（1）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若a=32，求f（x）在区间[0，2]上的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

试题解答

利用导数研究曲线上某点切线方程相关试题