年级：: 全部; 一年级; 二年级; 三年级; 四年级; 五年级; 六年级

年级：: 全部; 初一; 初二; 初三

年级：: 全部; 高一; 高二; 高三

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已知函数f（x）=lnx+aex，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=xf′（x），求证：对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＜1+1e2．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=

lnx+a

e^x

，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=xf′（x），求证：对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＜1+

e²

．

试题解答

见解析

（1）解：∵f（x）=

lnx+a

e^x

x∈（0，+∞），
∴f′（x）=

?e^x-(lnx+a)e^x

(e^x)²

-lnx-a

e^x

由已知：f′（1）=0得：1-a=0
∴a=1；
（2）解：由（1）知：f′（x）=

-lnx-1

e^x

x∈（0，+∞）
设h（x）=

-lnx-1
则h′（x）=-

x²

1+x

x²

＜0
∴h（x）在（0，+∞）上为减函数，∵h（1）=0，
∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，
当x＞1时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；
（3）证明：由（2）可知：当x≥1时，g（x）=xf^′(x)≤0＜1+

e²

，
只需证0＜x＜1时，g(x)＜1+

e²

即可．
g(x)=xf^′(x)=

1-xlnx-x

e^x

．
设F（x）=1-xlnx-x，0＜x＜1
则F′（x）=-（lnx+2）
令F′（x）＞0，即lnx+2＜0，∴0＜x＜

e²

令F′（x）＜0，即lnx+2＞0，∴

e²

＜x＜1
∴当x=

e²

时，F（x）取最大值F(

e²

)=1+

e²

∵0＜x＜1时，e^x＞1，且g（x）＞0
∴g（x）=

1-xlnx-x

e^x

＜1-xlnx-x=F(x)
∴g（x）＜F（x）≤1+

e²

综上所述，对任意x＞0，都有g（x）＜1+

e²

．

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选修2-2 北师大版解答题高中数学

已知函数f（x）=lnx+aex，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=xf′（x），求证：对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＜1+1e2．试题及答案-解答题-云返教育

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利用导数研究曲线上某点切线方程相关试题