设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在点P处的切线斜率为2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的极值点；（Ⅲ）对定义域内任意一个x，不等式f（x）≤2x-2是否恒成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

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设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在点P处的切线斜率为2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的极值点；
（Ⅲ）对定义域内任意一个x，不等式f（x）≤2x-2是否恒成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

见解析

解：（Ⅰ）∵f（x）=x+ax²+blnx（x＞0）
∴f′(x)=1+2ax+

，
∵y=f（x）在点P（1，0）处的切线斜率为2，
∴

{	f(1)=0 f′(1)=2

即

{	1+a=0 1+2a+b=2

解得

{

a=-1

b=3

，
∴a=-1，b=3．
（Ⅱ）∵f（x）=x-x²+3lnx（x＞0）

得f′(x)=1-2x+

-2x²+x+3

，
即f′(x)=

(-2x+3)(x+1)

由x＞0可得，
当f'（x）＞0时，解得0＜x＜

，
当f'（x）＜0时，解得x＞

．
列表可得：
故f（x）只有极大值点，且极大值点为x=

．
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-2x+2，得g（x）=-x²-x+2+3lnx（x＞0），

∴g′(x)=-2x-1+

-2x²-x+3

，
即g′(x)=

(2x+3)(-x+1)

．
由x＞0可得，
当g'（x）＞0时，解得0＜x＜1；
当g'（x）＜0时，x＞1．
列表可得：
由表可知g（x）的最大值为g（1）=0．
即g（x）≤0恒成立，因此f（x）≤2x-2恒成立．

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