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函数f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1],总有f(x)≥0成立,则a=( )试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
函数f(x)=ax
3
-3x+1对于x∈[-1,1],总有f(x)≥0成立,则a=( )
试题解答
D
解:函数f(x)=ax
3
-3x+1对于x∈[-1,1],总有f(x)≥0成立,即ax
3
-3x+1≥0恒成立,
①当x=0时,显然ax
3
-3x+1≥0成立,此时a∈R;
②当0<x≤1时,ax
3
-3x+1≥0即a≥
3x-1
x
3
,等价于a≥(
3x-1
x
3
)
max
,
令f(x)=
3x-1
x
3
,则f′(x)=
3-6x
x
4
,
当0<x<
1
2
时,f′(x)>0,f(x)递增;当
1
2
<x≤1时,f′(x)<0,f(x)递减;
∴f(x)
max
=f(
1
2
)=
3
2
-1
1
8
=4,
∴a≥4;
③当-1≤x<0时,ax
3
-3x+1≥0即a≤
3x-1
x
3
,等价于a≤(
3x-1
x
3
)
min
,
此时f(x)=
3x-1
x
3
,f′(x)=
3-6x
x
4
>0,f(x)递增,
∴f(x)
min
=f(-1)=
-3-1
(-1)
3
=4,
∴a≤4;
综上所述,a=4.
故选D.
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选修2-2
北师大版
单选题
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数学
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