• 函数f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1],总有f(x)≥0成立,则a=( )试题及答案-单选题-云返教育

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      函数f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1],总有f(x)≥0成立,则a=(  )

      试题解答


      D
      解:函数f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1],总有f(x)≥0成立,即ax3-3x+1≥0恒成立,
      ①当x=0时,显然ax
      3-3x+1≥0成立,此时a∈R;
      ②当0<x≤1时,ax
      3-3x+1≥0即a≥
      3x-1
      x3
      ,等价于a≥(
      3x-1
      x3
      )max
      令f(x)=
      3x-1
      x3
      ,则f′(x)=
      3-6x
      x4

      当0<x<
      1
      2
      时,f′(x)>0,f(x)递增;当
      1
      2
      <x≤1时,f′(x)<0,f(x)递减;
      ∴f(x)
      max=f(
      1
      2
      )=
      3
      2
      -1
      1
      8
      =4,
      ∴a≥4;
      ③当-1≤x<0时,ax
      3-3x+1≥0即a≤
      3x-1
      x3
      ,等价于a≤(
      3x-1
      x3
      )min
      此时f(x)=
      3x-1
      x3
      ,f′(x)=
      3-6x
      x4
      >0,f(x)递增,
      ∴f(x)
      min=f(-1)=
      -3-1
      (-1)3
      =4,
      ∴a≤4;
      综上所述,a=4.
      故选D.
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