• 函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点为x1,x2(x1≠x2),且|x1|+|x2|=2√2,则b的最大值是 .试题及答案-填空题-云返教育

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      函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点为x1,x2(x1≠x2),且|x1|+|x2|=2
      2
      ,则b的最大值是         

      试题解答


      4
      6

      解:∵f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)
      ∴f′(x)=3ax
      2+2bx-a2(a>0)
      ∵函数f(x)=ax
      3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点为x1,x2(x1≠x2),
      ∴f'(x)=0有两不等实根x
      1,x2(x1≠x2),
      ∴△>0,∴b
      2+3a3>0,恒成立,
      ∴x
      1+x2=-
      2b
      3a
      ,x1x2=-
      a
      3
      <0,
      ∵|x
      1|+|x2|=2
      2
      ,且x1,x2异号,
      ∴(|x
      1|+|x2|)2=x12+x22-2x1x2=(x1+x22-4x1x2=8,
      ∴(
      -
      2b
      3a
      )2+
      4a
      3
      =8,∴b2=-3a3+18a2≥0,解得0<a≤6,
      设t=-3a
      3+18a2,则t′=-9a2+36a=-9a(a-4)(0<a≤6),
      令t′>0,得0<a<4,t′<0,得6≥a>4,
      t在(0,4]是增函数,在[4,6)是减函数,
      ∴a=4取得t最大96,∴b
      2最大值为96,∴bmax=4
      6

      故答案为:4
      6
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