• 函数f(x)=xlnx-ax2-x(a∈R).(I)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(II)若函数f(x)的图象在直线y=-x图象的下方,求a的取值范围;(III)求证:20132012<20122013.试题及答案-解答题-云返教育

    • 试题详情

      函数f(x)=xlnx-ax2-x(a∈R).
      (I)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
      (II)若函数f(x)的图象在直线y=-x图象的下方,求a的取值范围;
      (III)求证:2013
      2012<20122013

      试题解答


      见解析
      解:(I)f′(x)=lnx-2ax,(x>0).
      ∵函数f(x)在x=1处取得极值,∴f′(1)=0,即0-2a=0,解得a=0.
      ∴f′(x)=lnx,
      当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)在(0,1)内单调递减;
      当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)内单调递增.
      ∴函数f(x)在x=1时取得极小值.
      (II)由题意可得:xlnx-ax
      2-x<-x,
      ∴xlnx-ax
      2<0,
      ∵x>0,∴a>
      lnx
      x

      设h(x)=
      lnx
      x
      ,则h′(x)=
      1-lnx
      x2

      令h′(x)>0,解得0<x<e,∴h(x)在区间(0,e)上单调递增;
      令h′(x)<0,解得e<x,∴h(x)在区间(e,+∞)上单调递减.
      ∴h(x)在x=e时取得极大值,即最大值,h(e)=
      1
      e

      ∴a>
      1
      e

      (III)由(II)可知:h(x)在(e,+∞)上单调递减,
      ∴h(x)>h(x+1),
      lnx
      x
      ln(x+1)
      x+1
      ,化为lnxx+1>ln(x+1)x
      ∴x
      x+1>(x+1)x
      令x=2012,可得2012
      2013>20132012

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