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  • 已知函数f(x)=(x2-x-1a)eax(a≠0)．（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，若不等式f(x)+3a≥0对x∈[-3a，+∞)恒成立，求a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=(x2-x-
      1
      a
      )eax(a≠0)．
      （Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；
      （Ⅱ）当a＞0时，若不等式f(x)+
      3
      a
      ≥0对x∈[-
      3
      a
      ，+∞)恒成立，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：f′(x)=(2x-1)eax+(x2-x-
      1
      a
      )?eax?a=eax（ax+2）（x-1）（2分）
      （ I）令f′（x）=0即（ax+2）（x-1）=0，解得x=-
      2
      a
      或x=1．（3分）
      当-
      2
      a
      ＜1即a＜-2???，
      令f′（x）＞0解得-
      2
      a
      ＜x＜1；令f′（x）＜0解得x＜-
      2
      a
      或x＞1．
      则f（x）在(-∞，-
      2
      a
      )，（1，+∞）上为减函数，在(-
      2
      a
      ，1)上为增函数．（5分）
      当-
      2
      a
      =1即a=-2时，f′（x）=e-2x（-2）（x-1）2≤0在R上恒成立，
      则f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．（6分）
      当-
      2
      a
      ＞1即-2＜a＜0时，
      令f′（x）＞0解得1＜x＜-
      2
      a
      ；令f′（x）＜0解得x＞-
      2
      a
      或x＜1．
      则f（x）在（-∞，1），(-
      2
      a
      ，+∞)上为减函数，在(1，-
      2
      a
      )上为增函数．（8分）
      综上，当a＜-2时，f（x）的单调递增区间为(-
      2
      a
      ，1)，单调递减区间为(-∞，-
      2
      a
      )，（1，+∞）；
      当a=-2时，f（x）单调递减区间为（-∞，+∞）；
      当-2＜a＜0时，f（x）的单调递增区间为(1，-
      2
      a
      )，单调递减区间为（-∞，1），(-
      2
      a
      ，+∞)．（9分）
      （ II）当a＞0时，列表得：
      x (-
      3
      a
      ，-
      2
      a
      )       		-
      2
      a
      		(-
      2
      a
      ，1)       		1 （1，+∞）
      f′（x） + 0 - 0 +
      f（x） 增 极大值 增 极小值 增
      又f(-
      3
      a
      )=
      9+2a
      a2
      e-3＞0，f(1)=-
      1
      a
      ea＜0，
      从而当x≥-
      3
      a
      时，函数f（x）在x=1时取得最小值f(1)=-
      1
      a
      ea，（12分）
      由题意，不等式f(x)+
      3
      a
      ≥0对x∈[-
      3
      a
      ，+∞)恒成立，
      所以得-
      1
      a
      ea+
      3
      a
      ≥0，解得0＜a≤ln3，
      从而a的取值范围为（0，ln3]．（14分）
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