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我们把y=xm(m∈Q)叫做幂函数.幂函数y=xm(m∈Q)的一个性质是:当m>0时,在(0,+∞)上是增函数;当m<0时,在(0,+∞)上是减函数.设幂函数f(x)=xn(n≥2,n∈N).(1)若gn(x)=f(x)+f(a-x),x∈(0,a),证明:(2)若gn(x)=f(x)-f(x-a),对任意n≥a>0,证明:gn′(n)≥n!a.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
我们把y=x
m
(m∈Q)叫做幂函数.幂函数y=x
m
(m∈Q)的一个性质是:当m>0时,在(0,+∞)上是增函数;当m<0时,在(0,+∞)上是减函数.设幂函数f(x)=x
n
(n≥2,n∈N).
(1)若g
n
(x)=f(x)+f(a-x),x∈(0,a),证明:
(2)若g
n
(x)=f(x)-f(x-a),对任意n≥a>0,证明:g
n
′(n)≥n!a.
试题解答
见解析
(1)由已知求g
n
(x)的值域,首先求g
n
′(x),在利用g
n
′(x)>0,g
n
′(x)<0分别求出函数的单调递增区间和单调递减区间,得到函数的极值点x=
,进而得到函数的最值,即可以得到函数的值域.
(2)当x≥a>0时,g
n
′(x)=n[x
n-1
-(x-a)
n-1
]>0,g
n
(x)是关于x的增函数,当n≥a时,得(n+1)
n
-(n+1-a)
n
>n
n
-(n-a)
n
.
进而得
>n+1,
,根据
式可以构造等式g
n
′(n)=
?
…
?g
2
′(2)>n×(n-1)×…×3×2a=n!a,又g
2
′(2)=2[2
2-1
-(2-a)
2-1
]=2!a,故n≥2,n∈N时,有g
n
′(n)≥n!a
证明(1)∵g
n
(x)=f(x)+f(a-x)=x
n
+(a-x)
n
,
∴g
n
′(x)=nx
n-1
+n(a-x)
n-1
(-1)=n[x
n-1
-(a-x)
n-1
]
令g
n
′(x)=0,得x
n-1
=(a-x)
n-1
,又x∈(0,a).
根据幂函数的单调性,得x=a-x,即
,由下表:
∴
又g
n
(x)在x=0,x=a处连续,且g
n
(0)=g
n
(a)=a
n
,
故
.
(2)∵g
n
(x)=f(x)-f(x-a)=x
n
-(x-a)
n
,
∴g
n
′(x)=n[x
n-1
-(x-a)
n-1
],
∵当x≥a>0时,g
n
′(x)>0,∴x≥a>0时,g
n
(x)是关于x的增函数,
∴当n≥a时,(n+1)
n
-(n+1-a)
n
>n
n
-(n-a)
n
.
∴g
n+1
′(n+1)=(n+1)[(n+1)
n
-(n+1-a)
n
]>(n+1)[n
n
-(n-a)
n
]>(n+1)[n
n
-n(n-a)
n-1
]
=(n+1)n[n
n-1
-(n-a)
n-1
]=(n+1)g
n
′(n)
于是
>n+1,而g
2
′(2)=2[2
2-1
-(2-a)
2-1
]=2a
当n≥3时,g
n
′(n)=
?
…
?g
2
′(2)>n×(n-1)×…×3×2a=n!a,
又n=2时,g
2
′(2)=2[2
2-1
-(2-a)
2-1
]=2!a
故n≥2,n∈N时,有g
n
′(n)≥n!a
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幂函数的实际应用
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