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  • 已知点(√2 ，2 )在幂函数f（x）的图象上，点(-2 ， 14)在幂函数g（x）的图象上．（1）求函数f（x），g（x）的解析式；（2）判断函数g（x）的单调性并用定义证明；（3）问x为何值时有f（x）≤g（x）．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知点(
      √2
      ，2 )在幂函数f（x）的图象上，点(-2 ，
      1
      4
      )在幂函数g（x）的图象上．
      （1）求函数f（x），g（x）的解析式；
      （2）判断函数g（x）的单调性并用定义证明；
      （3）问x为何值时有f（x）≤g（x）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题易得f（x）=x2 ，g（x）=x-2
      （2）g（x）在（0，+∞）上为减函数，在（-∞，0）上为增函数
      证明：任取x      1＜x2＜0，有g(x1)-g(x2)=
      (x1+x2)(x2-x1)
      x
      2
      1
      x
      2
      2

      ∵x      1+x2＜0，x2-x1＞0，x12x22＞0
      ∴g（x      1）-g（x2）＜0
      ∴g（x）在（0，+∞）上为增函数．
      任取0＜x      1＜x2，有g(x1)-g(x2)=
      (x2+x1)(x2-x1)
      x
      2
      1

      ∵x      2+x1＞0，x2-x1＞0，x12x22＞0
      ∴g（x      1）＞g（x2）
      ∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．
      （3）当x＞1或x＜1时，f（x）≤g（x），证明如下
      由（1），两函数都是偶函数，先研究x＞0时满足f（x）≤g（x）的x的取值范围．
      令x      2 =x-2，解得x=1，又f（x）=x2 在（0，+∞）上是增函数，g（x）=x-2在（0，+∞）上是减函数，故可得f（x）≤g（x）的x的取值范围是x≤1
      由两函数的解析式知，此两函数都是偶函数，故当x＜0时，f（x）≤g（x）的x的取值范围是x≥-1
      综上当-1≤x≤1时，f（x）≤g（x）
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      高一上册沪教版解答题高一数学

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