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  • 给出集合A={-2，-1，-12，-13，12，1，2，3}．已知a∈A，使得幂函数f（x）=xa为奇函数；指数函数g（x）=ax在区间（0，+∞）上为增函数．（1）试写出所有符合条件的a，说明理由；（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性，并证明；（3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      给出集合A={-2，-1，-
      1
      2
      ，-
      1
      3
      ，
      1
      2
      ，1，2，3}．已知a∈A，使得幂函数f（x）=xa为奇函数；指数函数g（x）=ax在区间（0，+∞）上为增函数．
      （1）试写出所有符合条件的a，说明理由；
      （2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性，并证明；
      （3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]．

      试题解答

      见解析
      解：（1）a=3．…1分
      ∵指数函数g（x）=a      x在区间（0，+∞）上为增函数，
      ∴a＞1，
      ∴a只可能为2或3．
      而当a=2时，幂函数f（x）=x      2为偶函数，
      只有当a=3时，幂函数f（x）=x      3为奇函数．
      （只需简单说明理由即可，无需与答案相同）…2分
      （2）f（x）=x      3在（0，+∞）上为增函数．…1分
      证明：在（0，+∞）上任取x      1，x2，x1＜x2，
      f（x      1）-f（x2）=x13-x23
      =（x1-x2）（x12+x1x2+x22）
      =(x      1-x2)[(x1+
      1
      2
      x2)2+
      3
      4
      x
      2
      2
      ]，
      ∵x      1＜x2，
      ∴x      1-x2＜0，(x1+
      1
      2
      x2)2+
      3
      4
      x
      2
      2
      ＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，
      ∴f（x      1）＜f（x2）．
      ∴f（x）=x      3在（0，+∞）上为增函数．…3分
      （3）f[g（x）]=（3      x）3=33x，
      g[f（x）]=3      x3，
      ∴3      3x=3x3，…2分
      根据指数函数的性质，
      得3x=x      3，
      ∴x      1=0，x2=
      √3
      ，x3=-
      √3
      ． …1分．
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