已知幂函数f（x）=x（2-k）（1+k）（k∈z）在（0，+∞）上递增．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）=1-mf（x）+（4m-1）x，在区间[0，1]上的最大值为5．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈z）在（0，+∞）上递增．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）=1-mf（x）+（4m-1）x，在区间[0，1]上的最大值为5．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

试题解答

见解析

（1）∵幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈z）在（0，+∞）上递增，
∴（2-k）（1+k）＞0，解得-1＜k＜2，
又∵k∈Z，∴k=0或1．
当k=0或1时，（2-k）（1+k）=2，
∴幂函数f（x）=x²；
（2）由（1）可知：g（x）=-mx²+（4m-1）x+1，
∵m＞0，∴-m＜0，g（x）=