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年级：: 全部; 高一; 高二; 高三

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令．如果对k（k∈N*），满足f（1）?f（2）?…?f（k）为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，2012]内所有的“好数”的和S= ．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

令

．如果对k（k∈N^*），满足f（1）?f（2）?…?f（k）为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，2012]内所有的“好数”的和S= ．

试题解答

见解析

先利用换底公式与叠乘法把f（1）?f（2）?…?f（k）化为log₂（k+2）；然后根据f（1）?f（2）?…?f（k）为整数，可得k=2ⁿ-2；由此求得[1，2011]内所有的“好数”的和 S=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）的值．

∵f（n）=log_n+1（n+2）=

，（n∈N^*），
∴f（1）f（2）f（3）…f（n）=

?

?

…

=

=log₂（k+2）．
又∵f（1）?f（2）?…?f（k）为整数，∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2．
∴[1，2011]内所有的“好数”的和为 S=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-2×9=

-2×9=2026，
故答案为 2026．

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高一下册沪教版解答题高一数学

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