已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=f（n）．规定：各项均不为零的数列{bn}中，所有满足bi?bi+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{bn}的变号数．若令bn=1-aan（n∈N*），则数列{bn}的变号数等于．试题及答案-单选题-云返教育

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已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=f（n）．规定：各项均不为零的数列{b_n}中，所有满足b_i?b_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{b_n}的变号数．若令b_n=1-

a_n

（n∈N^*），则数列{b_n}的变号数等于．

试题解答

解：（Ⅰ）∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素
∴△=a²-4a=0解得a=0或a=4
当a=0时函数f（x）=x²在（0，+∞）递增，不满足条件②
当a=4时函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，满足条件②
综上得a=4，即f（x）=x²-4x+4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=n²-4n+4=（n-2）²
当n=1时，a₁=S₁=1
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5
∴a_n=

{	1，(n=1) 2n-5，(n≥2)

，
由题设可得b_n=

{

-3，(n=1)

2n-5

，(n≥2)

，
∵b₁=-3＜0，b₂=1+4=5＞0，b₃=-3＜0，
∴i=1，i=2都满足b_i?b_i+1＜0
∵当n≥3时，b_n+1-b_n=

2n-5

2n-3

(2n-5)(2n-3)

＞0
即当n≥3时，数列{b_n}递增，
∵b₄=-

＜0，由1-

2n-5

＞0?n≥5，
可知i=4满足b_i?b_i+1＜0
∴数列{b_n}的变号数为3．
故答案为：3

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必修1 人教A版单选题高中数学

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