D
解:令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)-2012,
∴f(0)=2012,
令-2013≤x1<x2≤2013,且x2-x1=t>0,
则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+t)=f(x1)-f(x1)-f(t)+2012=2012-f(t)
∵t>0,
∴f(t)>2012,
∴2012-f(t)<0,
∴f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在R上为单调递增函数.
令x2=-x1∈[-2013,2013],
则由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2012得:f(0)=f(x1)+f(-x1)-2012=2012,
∴f(x1)+f(-x1)=4024.
∵函数f(x)在R上为单调递增函数,
∴M+N=f(-2013)+f(2013)=4024.
故选:D.