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已知f(x)=2x+12x+1-a是奇函数．（1）求a的值；（2）判断并证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）若关于x的方程k?f（x）=2x在（0，1]上有解，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知f(x)=

2^x+1

2^x+1-a

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断并证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）若关于x的方程k?f（x）=2^x在（0，1]上有解，求k的取值范围．

见解析

解：（1）∵f(x)=

2^x+1

2^x+1-a

是奇函数，
∴对定义域内的x，都有f（x）=-f（-x），
即f（x）+f（-x）=0，
则

2^x+1

2^x+1-a

2^-x+1

2^-x+1-a

(2-a)(2^x+1+2^2x+1)

(2^x+1-a)(2-a?2^x)

=0，
∴a=2．
（2）f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
对任意的0＜x₁＜x₂、
f(x₁)-f(x₂)=

2^x₁+1

2^x₁+1-2

2^x₂+1

2^x₂+1-2

2^x₁-2^x₂

(2^x₁+1-2)(2^x₂+1-2)

＞0，
故f（x₁）＞f（x₂），即f（x）在（0，+∞）上的单调递减；
（3）方程k?f（x）=2^x可化为：2（2^x）²-（k+2）?2^x-k=0，
令2^x=t∈（1，2]，
于是2t²-（k+2）t-k=0，
则k=

2t²-2t

t+1

=2(t+1)+

t+1

-6，
又2(t+1)+

t+1

-6在（1，2]上单调递增，
∴2(t+1)+

t+1

-6的值域为(0，

]，
故0＜k≤

．

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