• 已知函数f(x)=ax-bx,其中a、b为非零实数,f(12)=-12,f(2)=74(1)判断函数的奇偶性,并求a、b的值;(2)用定义证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.试题及答案-单选题-云返教育

    • 试题详情

      已知函数f(x)=ax-
      b
      x
      ,其中a、b为非零实数,f(
      1
      2
      )=-
      1
      2
      ,f(2)=
      7
      4

      (1)判断函数的奇偶性,并求a、b的值;
      (2)用定义证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.

      试题解答


      见解析
      解:(1)函数定义域为(-∞,0)∪(0.+∞),
      由f(-x)=a(-x)-
      b
      -x
      =-(ax-
      a
      x
      )=-f(x)得,函数为奇函数.--------(3分)
      由f(
      1
      2
      )=-
      1
      2
      ,f(2)=
      7
      4
      ,可得
      1
      2
      a-2b=-
      1
      2
      ,2a-
      1
      2
      b=
      7
      4

      解得a=1,b=
      1
      2
      .---------(6分)
      (2)证明:由(1)得f(x)=x-
      1
      2x
      ,设任意x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2
      则f(x
      1)-f(x2)=x1-
      1
      2x1
      -(x2-
      1
      2x2
      )=(x1-x2)+(
      1
      2x2
      -
      1
      2x1
      )
      =(x
      1-x2)+
      x1-x2
      2x1x2
      =(x1-x2)(1+
      1
      2x1x2
      ).----------(8分)
      因为x
      1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>0,即1+
      1
      2x1x2
      >0,
      所以f(x
      1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
      所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.---------(10分)

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