如果对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=-x3+x+1；②y=3x-2（sinx-cosx）；③y=ex+1；④f（x）={ln|x|，x≠00，x=0．其中函数式“H函数”的个数是（）试题及答案-单选题-云返教育

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如果对定义在R上的函数f（x），对任意x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：
①y=-x³+x+1；
②y=3x-2（sinx-cosx）；
③y=e^x+1；
④f（x）=

{	ln\|x\|，x≠0 0，x=0

．
其中函数式“H函数”的个数是（　　）

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解：∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数．
①y=-x³+x+1；y'=-3x²+1，则函数在定义域上不单调．
②y=3x-2（sinx-cosx）；y'=3-2（cosx+sinx）=3-2

√2

sin（x+

）＞0，函数单调递增，满足条件．
③y=e^x+1为增函数，满足条件．
④f（x）=

{	ln\|x\|，x≠0 0，x=0

，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．
综上满足“H函数”的函数为②③，
故选B．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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