• 已知函数f(x)=ax+bx2+1是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(12)=25.(1)确定函数f(x)的解析式;(2)当x∈(-1,1)时判断函数f(x)的单调性,并证明;(3)解不等式f(2x-1)+f(x)<0.试题及答案-单选题-云返教育

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      已知函数f(x)=
      ax+b
      x2+1
      是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(
      1
      2
      )=
      2
      5

      (1)确定函数f(x)的解析式;
      (2)当x∈(-1,1)时判断函数f(x)的单调性,并证明;
      (3)解不等式f(2x-1)+f(x)<0.

      试题解答


      见解析
      解:(1)由题意可知f(-x)=-f(x)
      -ax+b
      x2+1
      =-
      ax+b
      x2+1

      ∴-ax+b=-ax-b,∴b=0
      ∵f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ,∴a=1
      ∴f(x)=
      x
      x2+1

      (2)当x∈(-1,1)时,函数f(x)单调增,证明如下:
      ∵f′(x)=
      (1-x)(1+x)
      (x2+1)2
      ,x∈(-1,1)
      ∴f′(x)>0,∴当x∈(-1,1)时,函数f(x)单调增;
      (3)∵f(2x-1)+f(x)<0,且f(x)为奇函数
      ∴f(2x-1)<f(-x)
      ∵当x∈(-1,1)时,函数f(x)单调增,
      {
      -1<2x-1<1
      -1<-x<1
      2x-1<-x

      ∴0<x<
      1
      3

      ∴不等式的解集为(0,
      1
      3
      ).
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