• 已知函数f(x)=x(ex+ae-x),(1)当a=-1时,判断并证明f(x)的奇偶性;(2)是否存在实数a,使得f(x)是奇函数?若存在,求出a;若不存在,说明理由.试题及答案-单选题-云返教育

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      已知函数f(x)=x(ex+ae-x),
      (1)当a=-1时,判断并证明f(x)的奇偶性;
      (2)是否存在实数a,使得f(x)是奇函数?若存在,求出a;若不存在,说明理由.

      试题解答


      见解析
      解:(1)由于x∈R,当a=-1时,f(x)=x(ex-e-x),再根据 f(-x)=(-x)(e-x-ex)=f(x),可得f(x)是偶函数.
      (2)假设存在实数a使得f(x)是奇函数,
      ∵f(-x)=(-x)(e
      -x+aex),-f(x)=-x(ex+ae-x),
      要使f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,即e
      x+ae-x=e-x+aex恒成立,
      故有(a-1)e
      x=(a-1)e-x,即(a-1)(e2x-1)=0恒成立,
      ∴a-1=0,
      ∴a=1,即存在实数a,满足条件.
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