设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx-1|．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，实数a的取值范围．

见解析

解：（1）当a=2时，f（x）=x²+2|lnx-1|
=

{	x²-2lnx+2(0＜x≤e) x²+2lnx-2(x＞e)

（2分）
当0＜x≤e时，f′(x)=2x-

2x²-2

，
f（x）在（1，e]内单调递增；
当x≥e时，f′(x)=2x+

＞0恒成立，
故f（x）在[e，+∞）内单调递增；
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）．（6分）
（2）①当x≥e时，f（x）=x²+alnx-a，
f′(x)=2x+

（x≥e）∵a＞0，
∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[e，+∞）上增函数．
故当x=e时，y_min=f（e）=e²．（8分）
②当1≤x＜e时，f（x）=x²-alnx+a，
f′(x)=2x-

(x+

√

)(x-

√

)（1≤x＜e）
当

√

≥e，即a≥2e²时，
f′（x）在x∈（1，e）进为负数，
所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
故当x=e时，y_min=f（e）=e²．（14分）
所以函数y=f（x）的最小值为
y_min=

{

1+a，0＜a≤2

e²，a≥2e²

，2＜a＜2e²．
由条件得

{	1+a≥a 0＜a≤2

此时0＜a≤2；
或

{

≥a

2＜a＜2e²

，
此时2＜a≤2e；或

{	e²≥a a≥2e²

，此时无解．
综上，0＜a≤2e．（16分）

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