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  • 已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(-x+1，12y)．（Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；（Ⅱ）若P1的坐标为（2，2），求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为2的收敛圆．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(-x+1，
      1
      2
      y)．
      （Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
      （Ⅱ）若P      1的坐标为（2，2），求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为2的收敛圆．

      试题解答

      见解析
      （Ⅰ）解：设不动点的坐标为P0（x0，y0），
      由题意，得
      {
      x0=-x0+1
      y0=
      1
      2
      y0
      ，解得x0=
      1
      2
      ， y0=0，
      所以此映射f下不动点为      P0(
      1
      2
      ， 0)．

      （Ⅱ）证明：由P      n+1=f（Pn），得
      {
      xn+1=-xn+1
      yn+1=
      1
      2
      yn
      ，
      所以      xn+1-
      1
      2
      =-(xn-
      1
      2
      )， yn+1=
      1
      2
      yn，
      因为x      1=2，y1=2，
      所以      xn-
      1
      2
      ≠0， yn≠0，
      所以
      xn+1-
      1
      2
      xn-
      1
      2
      =-1，
      yn+1
      yn
      =
      1
      2
      ，
      由等比数列定义，得数列{x      n-
      1
      2
      }(n∈N*）是公比为-1，首项为x1-
      1
      2
      =
      3
      2
      的等比数列，
      所以      xn-
      1
      2
      =
      3
      2
      ×(-1)n-1，则xn=
      1
      2
      +(-1)n-1×
      3
      2
      ．
      同理      yn=2×(
      1
      2
      )n-1．
      所以      Pn(
      1
      2
      +(-1)n-1×
      3
      2
      ， 2×(
      1
      2
      )n-1)．
      设A(
      1
      2
      ， 1)，则|APn|=
      √(
      3
      2
      )2+[1-2×(
      1
      2
      )n-1]2
      ，
      因为0＜2×(
      1
      2
      )n-1≤2，
      所以-1≤1-2×(
      1
      2
      )n-1＜1，
      所以|AP      n|≤
      √(
      3
      2
      )2+1
      ＜2．
      故所有的点P      n（n∈N*）都在以A(
      1
      2
      ， 1)为圆心，2为半径的圆内，
      即点P      n（xn，yn）存在一个半径为2的收敛圆．
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