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  • 如图1，点O为直线AB上一点，过O点作直线OC，使∠BOC=120°，将一块 含30°，60°的直角三角板的直角顶点放在O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB下方．（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度逆时针方向旋转一周．①若旋转到某一时刻，使ON在∠AOC的内部，且∠AOM=3∠NOC，求旋转时间t的值．②在旋转过程中，直线MN∥直线OC时，求旋转时间t的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图1，点O为直线AB上一点，过O点作直线OC，使∠BOC=120°，将一块 含30°，60°的直角三角板的直角顶点放在O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB下方．
      （1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
      （2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度逆时针方向旋转一周．
      ①若旋转到某一时刻，使ON在∠AOC的内部，且∠AOM=3∠NOC，求旋转时间t的值．
      ②在旋转过程中，直线MN∥直线OC时，求旋转时间t的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）直线ON平分∠AOC．
      理由：如图2，

      设ON的反向延长线为OD，
      ∵OM平分∠BOC，
      ∴∠MOC=∠MOB，
      又∵OM⊥ON，
      ∴∠MOD=∠MON=90°，
      ∴∠COD=∠BON，
      又∵∠AOD=∠BON（对顶角相等），
      ∴∠COD=∠AOD，
      ∴OD平分∠AOC
      即直线ON平分∠AOC．
      （2）①如图3，

      ON在∠AOC的内部，且∠AOM=3∠NOC，
      ∵∠AOM+∠AON=90°，∠CON+∠AON=60°，
      ∴∠AOM-∠CON=30°，
      ∴∠CON=15°，旋转角为225°，
      故t=
      225
      6
      =37.5（秒）．

      ②如图

      如图4：
      ∵MN∥OC，
      ∴∠M=∠COM=30°，
      ∴∠BOM=90°，
      即旋转角为90°，
      ∴t=90÷6=15（秒）
      如图5：

      ∵MN∥OC，
      ∴∠ONM=∠AOC=60°
      ∴点N在AB上
      ∴旋转角为270°
      ∴t=270÷6=45（秒）
      即t的值为：
      90
      6
      =15（秒）或
      270
      6
      =45（秒）．
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