对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数f（x）=34x+1x（x＞0）是否为闭函数？并说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=

（x＞0）是否为闭函数？并说明理由．

见解析

解：（1）由题意，函数y=-x³是R上的减函数，若满足x∈[a，b]?R，且f（x）的值域为[a，b]；则f（a）=-a³，f（b）=-b³；
∴

{	b=-a³ a=-b³

，且b＞a；解得

{

a=-1

b=1

，
所以，所求的区间为[-1，1]．
（2）∵当x＞0时，f（x）=

≥2

√

√3

，当且仅当

，即x=

√3

时“=”成立，
∴f（x）不是（0，+∞）上的增函数或减函数；
所以，函数f（x）不是（0，+∞）上的闭函数．

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