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己知函数f(x)=2x-12x+1，（Ⅰ）证明函数f（x）是R上的增函数；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．（Ⅲ）令g(x)=x22f(x)．判定函数g（x）的奇偶性，并证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

己知函数f(x)=

2^x-1

2^x+1

，
（Ⅰ）证明函数f（x）是R上的增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．
（Ⅲ）令g(x)=

x²

2f(x)

．判定函数g（x）的奇偶性，并证明．

见解析

解：（Ⅰ）设x，x是R内任意两个值，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0
y₂-y₁=f（x₂）-f（x₁）=

2^x₂-1

2^x₂+1

2^x₁-1

2^x₁+1

2?2^x₂-2?2^x₁

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

当x₁＜x₂时，2^x₁＜2^x₂
∴2^x₂-2^x₁＞0．又2^x₁+1＞0，2^x₁+1＞0
∴y₂-y₁＞0
∴f（x）是R上的增函数．
（Ⅱ）：（1）∵2^x=

1+y

1-y

，又2^x＞0，
∴-1＜y＜1
函数f（x）的值域为（-1，1）；
（Ⅲ）由题意知g（x）=

x²

2^x+1

2^x-1

易知函数g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
g（-x）=

(-x)²

2^-x+1

2^-x-1

x²

1+2^x

1-2^x

x²

2^x+1

2^x-1

=-g（x）
∴函数g（x）为奇函数．

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