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  • 已知a∈[12，2]，若f（x）=ax2-4x+2在区间[1，4]上最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．（1）求g（a）的解析式；（2）讨论g（a）在[12，45]上的单调性；（3）当a∈[12，45]时，证明2a2+4≥g（a）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知a∈[
      1
      2
      ，2]，若f（x）=ax2-4x+2在区间[1，4]上最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
      （1）求g（a）的解析式；
      （2）讨论g（a）在[
      1
      2
      ，
      4
      5
      ]上的单调性；
      （3）当a∈[
      1
      2
      ，
      4
      5
      ]时，证明2a2+4≥g（a）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）的对称轴为x=
      2
      a

      ∵a∈[
      1
      2
      ，2]
      ∴
      2
      a
      ∈[1，4]
      ∴当x=
      2
      a
      时，f（x）最小为N（a）=2-
      4
      a

      ①
      4
      5
      ≤a≤4时，当x=4时最大为M（a）=16a-14
      ②
      1
      2
      ≤a＜
      4
      5
      时，当x=1时最大为M（a）=a-2
      ∴g(a)=
      {
      16a+
      4
      a
      -16(
      4
      5
      ≤a≤4)
      a+
      4
      a
      -4 (
      1
      2
      ≤a＜
      4
      5
      )

      （2）a∈[
      1
      2
      ，
      4
      5
      ]时g(a)=a+
      4
      a
      -4
      ∵g′(a)=1-
      4
      a2
      =
      a2-4
      a2
      ＜0
      ∴g(a)在[
      1
      2
      ，
      4
      5
      ]上递减
      证明（3）∵g(a)在[
      1
      2
      ，
      4
      5
      ]上递减
      ∴当a=
      1
      2
      时g（a）最大，最大值为
      1
      2
      +4=
      9
      2

      ∵2a      2+4≥2×(
      1
      2
      )2+4=
      9
      2

      即∵2a      2+4≥g（a）max
      ∴2a      2+4≥g（a）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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