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  • 已知函数f(x)=x2+1ax+b对于定义域内任意一个x都有f（-x）=-f（x），且f（1）=2．（1）求a，b的值；（2）用定义证明f（x）在（-∞，-1）上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      x2+1
      ax+b
      对于定义域内任意一个x都有f（-x）=-f（x），且f（1）=2．
      （1）求a，b的值；
      （2）用定义证明f（x）在（-∞，-1）上是增函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）因为f（-x）=-f（x）
      即
      x2+1
      -ax+b
      =-
      x2+1
      ax+b
      （2分）
      所以-ax+b=-ax-b
      ∴b=0，（4分）
      又f（1）=2，所以
      2
      a+b
      =2，
      ∴a=1（6分）
      （2）由（1）得f(x)=
      x2+1
      x
      =x+
      1
      x

      设x      1，x2是（-∞，-1）上的任意两实数，且x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=x1+
      1
      x1
      -(x2+
      1
      x2
      )=x1-x2+
      1
      x1
      -
      1
      x2
      =
      (x1-x2)(x1x2-1)
      x1x2
      ，（9分）
      因为x      1＜x2＜-1，所以x1-x2＜0，x1x2＞1，x1x2-1＞0，
      所以f（x      1）-f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）（11分）
      所以f（x）在（-∞，-1）上是增函数（12分）
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