设函数f（x）=2x+a?2-x-1（a为实数）．（1）若a＜0，用函数单调性定义证明：y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（2）若a=0，y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，求函数y=g（x）的解析式．试题及答案-单选题-云返教育

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设函数f（x）=2^x+a?2^-x-1（a为实数）．
（1）若a＜0，用函数单调性定义证明：y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）若a=0，y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，求函数y=g（x）的解析式．

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解：（1）设任意实数x₁＜x₂，则f(x₁)-f(x₂)=(2^x₁+a?2^-x₁-1)-(2^x₂+a?2^-x₂-1)=(2^x₁-2^x₂)+a(2^-x₁-2^-x₂)=(2^x₁-2^x₂)?

2^x₁+x₂-a

2^x₁+x₂

∵x₁＜x₂，∴2^x₁＜2^x₂，∴2^x₁-2^x₂＜0；
∵a＜0，∴2^x₁+x₂-a＞0．
又2^x₁+x₂＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x）是增函数．
（2）当a=0时，y=f（x）=2^x-1，所以2^x=y+1，所以x=log₂（y+1），y=g（x）=log₂（x+1）．

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设函数f（x）=2x+a?2-x-1（a为实数）．（1）若a＜0，用函数单调性定义证明：y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（2）若a=0，y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，求函数y=g（x）的解析式．试题及答案-单选题-云返教育

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