已知函数f(x)=|x+m-1|x-2，m＞0且f（1）=-1．（1）求实数m的值；（2）判断函数y=f（x）在区间（-∞，m-1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：①有且仅有一个实数解；②有两个不同的实数解；③有三个不同的实数解．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

|x+m-1|

x-2

，m＞0且f（1）=-1．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数y=f（x）在区间（-∞，m-1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：
①有且仅有一个实数解；
②有两个不同的实数解；
③有三个不同的实数解．

见解析

解：（1）由f（1）=-1，得

|m|

-1

=-1，|m|=1，
∵m＞0，∴m=1．（4分）
（2）由（1），m=1，从而f(x)=

|x|

x-2

，只需研究f（x）在（-∞，0]上的单调性．
当x∈（-∞，0]时，f(x)=

-x

x-2

．
设x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，则f(x₁)-f(x₂)=

-x₁

x₁-2

-x₂

x₂-2

2(x₁-x₂)

(x₁-2)(x₂-2)

，（6分）
∵x₁＜x₂≤0，∴x₁-x₂＜0，x₁-2＜0，x₂-2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调递增函数．（10分）
（3）原方程即为

|x|

x-2

=kx…①
x=0恒为方程①的一个解．（11分）
若x＜0时方程①有解，则

-x

x-2

=kx，解得x=2-

，
由2-

＜0，得 0＜k＜

；（13分）
若x＞0且x≠2时方程①有解，则

x-2

=kx，解得x=2+

，
由2+

＞0且2+

≠2，得k＜-

或k＞0．（15分）
综上可得，当k∈[-

，0]时，方程f（x）=kx有且仅有一个解；
当k∈(-∞，-

)∪[

，+∞)时，方程f（x）=kx有两个不同解；
当k∈(0，

)时，方程f（x）=kx有三个不同解．（18分）

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