已知函数f（x）=ex-1（e是自然对数的底数）．（1）证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立；（2）数列{}（n∈N+）的前n项和为Tn，求证：Tn＜．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=e^x-1（e是自然对数的底数）．
（1）证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立；
（2）数列{

}（n∈N⁺）的前n项和为T_n，求证：T_n＜

．

试题解答

见解析

（I）设h（x）=f（x）-x=e^x-1-x
∴h'（x）=e^x-1-1，
当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，
当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，
当x=1时，h（x）取最小值h（1）=0．
∴h（x）≥h（1）=0，即f（x）≥x
（II）由（I）可知，对任意的实数x，不等式e^x-1≥x恒成立，
所以