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若函数y=f(x),x∈D同时满足下列条件,(1)在D内为单调函数;(2)存在实数m,n.当x∈[m,n]时,y∈[m,n],则称此函数为D内等射函数,设(a>0,且a≠1)则:(1)f(x)在(-∞,+∞)的单调性为 ;(2)当f(x)为R内的等射函数时,a的取值范围是 .试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
若函数y=f(x),x∈D同时满足下列条件,(1)在D内为单调函数;(2)存在实数m,n.当x∈[m,n]时,y∈[m,n],则称此函数为D内等射函数,设
(a>0,且a≠1)则:
(1)f(x)在(-∞,+∞)的单调性为
;
(2)当f(x)为R内的等射函数时,a的取值范围是
.
试题解答
见解析
(1)求出
(a>0,且a≠1)的导数,由其导数大于0,得到f(x)在R上是增函???.
(2)由f(x)为等射函数,得到a
x
-xlna+a-3=0有两个不等实根,令g(x)=a
x
-xlna+a-3,求出其导数后进行分类讨论,能够求出a的取值范围.
(1)∵
(a>0,且a≠1),
∴
=a
x
>0,
∴f(x)在R上是增函数.
(2)∵f(x)为等射函数,
∴f(x)=
=x有两个不等实根,
即a
x
-xlna+a-3=0有两个不等实根,
令g(x)=a
x
-xlna+a-3,
∴g′(x)=a
x
lna-lna=lna(a
x
-1),
令g′(x)=0,得x=0.
①当a>1时,x>0时,g′(x)>0,x<0时,g′(x)<0,
∴g(x)
min
=g(0)=1+a-3<0,
∴a<2,
故1<a<2;
②当0<a<1时,x>0时,g′(x)>0,x<0时,g′(x)<0,
∴g(x)
min
=g(0)=0,
∴0<a<1.
综上所述,a∈(0,1)∪(1,2).
故答案为:增函数,(0,1)∪(1,2).
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