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  • 已知函数f（x）=-x2+ax+1-lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，12）上是减函数，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=-x2+ax+1-lnx．
      （Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
      （Ⅱ）若f（x）在区间（0，
      1
      2
      ）上是减函数，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=-x2+3x+1-lnx
      ∴f′(x)=-2x+3-
      1
      x
      =
      -(2x2-3x+1)
      x

      解f'（x）＞0，即：2x      2-3x+1＜0
      函数f（x）的单调递增区间是(
      1
      2
      ， 1)．
      （Ⅱ）f′（x）=-2x+a-
      1
      x
      ，∵f（x）在(0，
      1
      2
      )上为减函数，
      ∴x∈(0，
      1
      2
      )时-2x+a-
      1
      x
      ＜0恒成立．
      即a＜2x+
      1
      x
      恒成立．设g(x)=2x+
      1
      x
      ，则g′(x)=2-
      1
      x2

      ∵x∈(0，
      1
      2
      )时，
      1
      x2
      ＞4，
      ∴g′（x）＜0，∴g（x）在(0，
      1
      2
      )上递减，
      ∴g（x）＞g（
      1
      2
      ）=3，∴a≤3．
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