见解析
解：（1）∵g（x）=f（x）-f（2014-x），∴g（2014-x）=f（2014-x）-f（x），
故 g（x）+g（2014-x）=0，为定值．
（2）任取实数x1＜x2，则g（x1）-g（x2）=f（x1）-f（2014-x1）-f（x2）+f（2014-x2）=[f（x1）-f（x2）]+[f（2014-x2）-f（2014-x1）]．
由题设可得2014-x2＜2014-x1，又f（x）是R上的增函数，故f（x1）＜f（x2），f（2014-x2）＜f（2014-x1），
即g（x1）-g（x2）＜0，故g（x）在R上是单调递增函数．
（3）由（1）得g（x2）=-g（2014-x2），
∴g（x1）+g（x2）=g（x1）-g（2014-x2）＞0，
∴g（x1）＞g（2014-x2），又g（x）在R上是单调递增函数，
∴x1＞2014-x2，即 x1+x2＞2014．
