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  • 若函数y=f(x)x在（m，+∞）上为增函数（m为常数），则称f（x）为区间（m，+∞）上的“一阶比增函数”，（m，+∞）为f（x）的一阶比增区间．（1）若f（x）=xlnx-2ax2是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；（2）若f（x）=λx3-xlnx-x2 （λ＞0，λ为常数），且g（x）=f(x)x有唯一的零点，求f（x）的“一阶比增区间”；（3）若f（x）是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，求证：?x1，x2∈（0，+∞），f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      若函数y=
      f(x)
      x
      在（m，+∞）上为增函数（m为常数），则称f（x）为区间（m，+∞）上的“一阶比增函数”，（m，+∞）为f（x）的一阶比增区间．
      （1）若f（x）=xlnx-2ax      2是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；
      （2）若f（x）=λx      3-xlnx-x2 （λ＞0，λ为常数），且g（x）=
      f(x)
      x
      有唯一的零点，求f（x）的“一阶比增区间”；
      （3）若f（x）是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，求证：?x      1，x2∈（0，+∞），f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）若f（x）=xlnx-2ax2是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，
      则y=
      f(x)
      x
      =lnx-2ax，
      则y'=
      1
      x
      -2a，
      要使f（x）=xlnx-2ax      2是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，
      则y'=
      1
      x
      -2a≥0恒成立，即a≤
      1
      2x
      恒成立，
      ∵x＞0，
      ∴a≤0．
      （2）若f（x）=λx      3-xlnx-x2 （λ＞0，λ为常数），
      则g（x）=
      f(x)
      x
      =λx2-lnx-x，
      由g（x）=
      f(x)
      x
      =λx2-lnx-x=0，
      得λx      2-x=lnx，
      设y=λx      2-x和y=lnx，
      要使g（x）=
      f(x)
      x
      有唯一的零点，则由y=λx2-x和y=lnx的图象可知
      当y=λx      2-x经过点（1，0）时，函数g（x）=
      f(x)
      x
      有唯一的零点，
      此时λ-1=0，解得λ=1，
      此时g（x）=
      f(x)
      x
      =x2-lnx-x，
      g'（x）=2x-1-
      1
      x
      =
      2x2-x-1
      x
      ，
      由g'（x）=
      2x2-x-1
      x
      ＞0，
      得2x      2-x-1＞0，
      ∴x＞1或x＜-
      1
      2
      （舍去），
      即函数g（x）的单调区间为（1，+∞），
      ∴f（x）的“一阶比增区间”是（1，+∞）；
      （3）∵f（x）是“一阶比增函数”，即
      f(x)
      x
      在（0，+∞）上是增函数，
      又?x      1，x2∈（0，+∞），有x1＜x1+x2，x2＜x1+x2，
      ∴
      f(x1)
      x1
      ＜
      f(x1+x2)
      x1+x2
      ，
      f(x2)
      x2
      ＜
      f(x1+x2)
      x1+x2
      ，
      即f(x      1)＜
      x1f(x1+x2)
      x1+x2
      ，f(x2)＜
      x2f(x1+x2)
      x1+x2

      ∴f(x      1)+f(x2)＜
      x1f(x1+x2)
      x1+x2
      +
      x2f(x1+x2)
      x1+x2
      =f（x1+x2）．
      ∴?x      1，x2∈（0，+∞），f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）成立．
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