已知函数f（x）=x2-alnx在（1，2]上是增函数，g（x）=x-a√x在（0，1）上是减函数．（1）求f（x）、g（x）的表达式；（2）试判断关于x的方程12f（x）=g（x）+2在（0，+∞）根的个数．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函数，g（x）=x-a

√x

在（0，1）上是减函数．
（1）求f（x）、g（x）的表达式；
（2）试判断关于x的方程

f（x）=g（x）+2在（0，+∞）根的个数．

见解析

解：（1）由f（x）在（1，2]上是增函数，得：
在（1，2]上，f′（x）=2x-

≥0；
即在（1，2]上a≤2x²恒成立；
∵2x²＞2；
∴a≤2；
g（x）在（0，1）上是减函数，可得：
在（0，1）上，g′（x）=1-

√x

≤0；
即a≥2

√x

；
∵2

√x

＜2；
∴a≥2；
综合可得，a=2，函数f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2

√x

；
（2）令h（x）=

f（x）-g（x）-2=

x²-lnx-x+2

√x

-2，本题即求函数h（x）的零点个数；
h′（x）=x-

-1+

√x

(

√x

-1)

√x

；
∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0；
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（1）=-

＜0；
因此函数h（x）有两个零点，即原方程有2个根．

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