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已知函数f（x）=a-23x+1是在R上的奇函数，（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性；（3）若对于任意实数t∈1，2，不等式f（t+2）+f（k?t2-1）＞0恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=a-

3^x+1

是在R上的奇函数，
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性；
（3）若对于任意实数t∈1，2，不等式f（t+2）+f（k?t²-1）＞0恒成立，求k的取值范围．

见解析

解：（1）函数f（x）=a-

3^x+1

是在R上的奇函数，
则有f（0）=0，即a-

3⁰+1

=0，解得，a=1，
f（x）=1-

3^x+1

3^x-1

3^x+1

，f（-x）=

3^-x-1

3^-x+1

1-3^x

1+3^x

=-f（x），则f（x）为奇函数，
故a=1；
（2）由于f（x）=1-

3^x+1

，在R上3x递增，

3^x+1

递减，
则f（x）在R上递增；
（3）不等式f（t+2）+f（k?t²-1）＞0恒成立，即为
f（k?t²-1）＞-f（t+2）=f（-t-2），
由f（x）在R上递增，即有k?t²-1＞-t-2，
则k＞-

t²

对于任意实数t∈1，2成立，
而-

t²

=-（

）²+

，
由于

∈[

，1]，则t=2取得最大值，且为-

．
则k＞-

．
即有k的???值范围是（-

，+∞）．

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